pensamientO
viernes, 4 de noviembre de 2011
"EL HOMBRE QUE CALCULABA"
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jueves, 3 de noviembre de 2011
ÁLGEBRA - ARITMÉTICA
PROBLEMAS ÁLGEBRA - ARITMÉTICA
ÁLGEBRA. Parte de las Matemáticas que se dedica en sus aspectos más elementales. a resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones.
Los algoritmos de resolución de ecuaciones y de sistemas de ecuaciones han ocupado a muchos matemáticos a lo largo de la historia. Así, se conoce la existencia de problemas resueltos por procedimientos algebraicos, que datan del año 1900 a. C.. El lenguaje simbólico utilizado en estos procesos se atribuye a los árabes.
Los algoritmos de resolución de ecuaciones y de sistemas de ecuaciones han ocupado a muchos matemáticos a lo largo de la historia. Así, se conoce la existencia de problemas resueltos por procedimientos algebraicos, que datan del año 1900 a. C.. El lenguaje simbólico utilizado en estos procesos se atribuye a los árabes.
EL ARTE DE PLANTEAR ECUACIONES
El idioma del álgebra es la ecuación.
Isaac Newton en su manual de álgebra titulado Aritmética Universal escribió: «Para resolver un problema referente a números o relaciones abstractas de cantidades basta con traducir dicho problema, del inglés u otra lengua al idioma algebraico»
También mostró con ejemplos como debía efectuarse dicha traducción. He aquí alguno de ellos:
Isaac Newton en su manual de álgebra titulado Aritmética Universal escribió: «Para resolver un problema referente a números o relaciones abstractas de cantidades basta con traducir dicho problema, del inglés u otra lengua al idioma algebraico»
También mostró con ejemplos como debía efectuarse dicha traducción. He aquí alguno de ellos:
EL COMERCIANTE. Escribimos el enunciado directamente en la tabla:
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EN LA LENGUA VERNÁCULA | EN EL IDIOMA DEL ÁLGEBRA | |
Un comerciante tenía una determinada suma de dinero | x | |
El primer año se gastó 100 libras | x - 100 | |
Aumentó el resto con un tercio de éste | (x-100) + (x-100)/3 = (4x-400)/3 | |
Al año siguiente volvió a gastar 100 libras | (4x-400)/3 - 100 = (4x-700)/3 | |
y aumentó la suma restante en un tercio de ella | (4x-700)/3 + (4x-700)/9 = (16x-2800)/9 | |
El tercer año gastó de nuevo 100 libras | (16x-2800)/9 - 100 = (16x-3700)/9 | |
Después de que hubo agregado su tercera parte | (16x-3700)/9 + (16x-3700)/27 = (64x-14800)/27 | |
El capital llegó al doble del inicial | (64x-14800)/27 = 2x | |
Para determinar cuál es el capital inicial del comerciante no queda más que resolver la última ecuación: 64x - 14800 = 54x, 10x = 14800, x=1480. |
La solución de una ecuación es, con frecuencia, tarea fácil; en cambio, plantear la ecuación a base de los datos de un problema suele ser más difícil.
Hemos visto que el arte de plantear ecuaciones consiste, efectivamente, en traducir «la lengua vernácula a la algebraica». Pero el idioma del álgebra es lacónico en extremo, por eso no todos los giros del idioma materno son de fácil traducción. Las traducciones pueden ser muy distintas por el grado de su dificultad, como se verá.
Hemos visto que el arte de plantear ecuaciones consiste, efectivamente, en traducir «la lengua vernácula a la algebraica». Pero el idioma del álgebra es lacónico en extremo, por eso no todos los giros del idioma materno son de fácil traducción. Las traducciones pueden ser muy distintas por el grado de su dificultad, como se verá.
Los problemas que aparecerán a continuación serán más o menos originales, por su enunciado, por el procedimiento de resolución, por la solución, etc. etc.
No siempre se darán las soluciones de forma algebraica.
No siempre se darán las soluciones de forma algebraica.
1. COMPRENSION DEL PROBLEMA
Paso 1: Entender el Problema.
{¿Entiendes todo lo que dice?
{ ¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras?
{¿Distingues cuáles son los datos?
{¿Sabes a qué quieres llegar?
{¿Hay suficiente información?
{¿Hay información extraña?
{¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes?
Paso 2: Configurar un Plan.
¿Puedes usar alguna de las siguientes estrategias? (Una estrategia se define como un artificio ingenioso que conduce a un final).
Ensayo y Error (Conjeturar y probar la conjetura).
Usar una variable.
Buscar un Patrón
Hacer una lista.
Resolver un problema similar más simple.
.Hacer una figura.
Hacer un diagrama
Usar razonamiento directo.
Usar razonamiento indirecto.
.Usar las propiedades de los Números.
Resolver un problema equivalente.
.Trabajar hacia atrás.
.Usar casos
.Resolver una ecuación
.Buscar una fórmula.
Usar un modelo.
.Usar análisis dimensional.
Identificar sub-metas.
Usar coordenadas.
.Usar simetría.
{Implementar la o las estrategias que escogiste hasta solucionar completamente el problema o hasta que la misma acción te sugiera tomar un nuevo curso.
{Concédete un tiempo razonable para resolver el problema. Si no tienes éxito solicita una sugerencia o haz el problema a un lado por un momento (¡puede que "se te prenda el foco" cuando menos lo esperes!).
{No tengas miedo de volver a empezar. Suele suceder que un comienzo fresco o una nueva estrategia conducen al éxito.
{¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema?
{¿Adviertes una solución más sencilla?
{¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general?
Además del Método de Cuatro Pasos de Polya nos parece oportuno presentar en este apartado una lista de sugerencias hechas por estudiantes exitosos en la solución de problemas:
Acepta el reto de resolver el problema.
Reescribe el problema en tus propias palabras.
Tómate tiempo para explorar, reflexionar, pensar...
. Habla contigo mismo. Formula cuantas preguntas creas necesarias.
. Si es apropiado, trata el problema con números simples.
. Muchos problemas requieren de un período de incubación. Si te sientes frustrado, no dudes en tomarte un descanso -el subconciente se hará cargo-. Después inténtalo de nuevo.
. Analiza el problema desde varios ángulos.
. Revisa tu lista de estrategias para ver si una (o más) te pueden ayudar a empezar.
Reescribe el problema en tus propias palabras.
Tómate tiempo para explorar, reflexionar, pensar...
. Habla contigo mismo. Formula cuantas preguntas creas necesarias.
. Si es apropiado, trata el problema con números simples.
. Muchos problemas requieren de un período de incubación. Si te sientes frustrado, no dudes en tomarte un descanso -el subconciente se hará cargo-. Después inténtalo de nuevo.
. Analiza el problema desde varios ángulos.
. Revisa tu lista de estrategias para ver si una (o más) te pueden ayudar a empezar.
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